ସାମଗ୍ରୀର ଏକ ପରିଚୟ: ପ୍ରକୃତି ଏବଂ ଗୁଣ (ଭାଗ 1: ସାମଗ୍ରୀର ଗଠନ)

ପ୍ରଫେସର ଆଶିଷ ଗର୍ଗ

ସାମଗ୍ରୀ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ ବିଭାଗ

ଇଣ୍ଡିଆନ୍ ଇନଷ୍ଟିଚ୍ୟୁଟ୍ ଅଫ୍ ଟେକ୍ନୋଲୋଜି, କାନପୁର

ବକ୍ତୃତା – 08

କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ସରେ ସମାନତା (କଣ୍ଟ୍ଡ.)

ଆମେ ଟ୍ରାନ୍ସଲେସନାଲ୍ ସିମେଟ୍ରିକୁ ଦେଖିଲୁ, ଯାହା ଗୋଟିଏ ଜାଲି ପଏଣ୍ଟରୁ ଅନ୍ୟ କୁ ଅନୁବାଦ କରୁଛି, ଯାହା ସ୍ଫଟିକରେ ଉପସ୍ଥିତ | ଦ୍ୱିତୀୟଟି ଏକ ଦର୍ପଣ ସମାନତା ଥିଲା; ଦର୍ପଣ ସମାନତାର ଉଦାହରଣ ମଧ୍ୟ 3-ଡି କିମ୍ବା 2-ଡିରେ ଉପସ୍ଥିତ ରହିପାରେ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣ ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଦେଖିପାରିବେ ।

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 00:42)

ଆପଣଙ୍କର ଏକ ଦର୍ପଣ ପରି, ଭୂସମାନ୍ତର ଦର୍ପଣ, ଭୂଲମ୍ବ ଦର୍ପଣ, କର୍ଣ୍ଣ ଦର୍ପଣ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣଙ୍କର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ନାହିଁ | ଯଦି ଆପଣଙ୍କର ଏହିପରି ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଅଛି, ଦର୍ପଣ ବିମାନଗୁଡ଼ିକର ବିକଳ୍ପ ସଂଖ୍ୟା ହ୍ରାସ ପାଇଛି । ଆପଣଙ୍କର ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଆପଣଙ୍କର ସମସ୍ତ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ନାହିଁ, ଯେପରି ଆପଣ ବାମପାର୍ଶ୍ୱରେ ଦେଖନ୍ତି |

ସେହିଭଳି, ମୋଟିଫ୍ ହେତୁ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା ବିକଳ୍ପ ହ୍ରାସ ପାଇଛି | ତେଣୁ, ମୁଁ ଏହି ସମୟରେ ଯାହା ଗୁରୁତ୍ୱ ଦେବାକୁ ଚାହୁଁଥିଲି ତାହା ହେଉଛି, ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଆକୃତି ନୁହେଁ ଯାହାକୁ ଆପଣ ଦେଖନ୍ତି; ଏହା ମାନଦଣ୍ଡର ବିଚାର, ଏହାର ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା, ଦର୍ପଣ ସମାନତା ଇତ୍ୟାଦି ଅଛି କି ନାହିଁ | ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ଜାଲିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବାରେ ଏଗୁଡ଼ିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 01:58)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ତୃତୀୟ ଶ୍ରେଣୀକୁ ଫେରି ଯାଆନ୍ତୁ । ତେଣୁ, ଏହା ପୁନର୍ବାର ପ୍ରତିଫଳନ ସମାନତାର ଏକ ଉଦାହରଣ ଥିଲା | ତେଣୁ, ଆପଣ ଦେଖିପାରିବେ ଯେ ତାଜମହଲ ଏପରି ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ହୋଇଥିଲା ଯାହା ଦ୍ୱାରା ଆପଣଙ୍କର ତାଜମହଲ ରେ ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ରହିବ | ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଅନେକ ବସ୍ତୁ ଅଛି, ଯାହା ଏହି ପ୍ରକାରର ସମାନତା କିମ୍ବା ଆମର ନିଜ ମାନବ ଶରୀର ଦେଖାଏ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 02:16)

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମାନବ ଶରୀରର ଏହି ସମାନତା ଅଛି | ମାନବ ଶରୀର କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣ ଦେଖିପାରିବେ ଯେ ଆମେ ପ୍ରକୃତି ଏକ ଯଥେଷ୍ଟ ସମାନ ତା'ର ରୂପ ନେଇଛି | ତେଣୁ, ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଆମର କୌଣସି ଶାରୀରିକ ବିକୃତି ନଥାଏ, ତେବେ ଆପଣ ଆମ ଏବଂ ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଏକ ଭୂଲମ୍ବ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବେ, ଆମେ ଯଥେଷ୍ଟ ସମାନ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 02:37)

ତେଣୁ, ଆମେ ଅନୁବାଦଗତ ସମାନତା, ପ୍ରତିଫଳନ, ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା ଦେଖିଛୁ | ଚତୁର୍ଥଟି ହେଉଛି ଓଲଟା ସମାନତା |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 03:28)

ଓଲଟା ହେଉଛି ଏକ ଅପରେସନ୍; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମୁଁ ଏଠାରେ ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ଅଙ୍କନ କରେ, ଏବି ହେଉଛି ଏକ କ୍ୟୁବ୍ କର୍ଣ୍ଣ | ତେଣୁ, କ୍ୟୁବ୍ ର କେନ୍ଦ୍ର ହେଉଛି ଓଲଟାର କେନ୍ଦ୍ର, ଏବଂ ଆପଣ ଏହି ବିନ୍ଦୁକୁ ଏପରି ଢଙ୍ଗରେ ଆଣୁଛନ୍ତି, ତେଣୁ, ଆପଣ ଏହାକୁ ବିକୁ ଆଣିବେ | ତେଣୁ, ମୂଳତଃ ତୁମର ପଏଣ୍ଟ ଏକ୍ସ, ୱାଇ, ଜେଡ୍ ମାଇନସ୍ ଏକ୍ସ, ମାଇନସ୍ ୱାଇ, ମାଇନସ୍ ଜେଡ୍ ହୋଇଯାଏ |

ତେଣୁ, ଏହି ଅପରେସନ୍ କୁ ଓଲଟା କୁହାଯାଏ, ଏବଂ ଏହା ଏକ ଦିଗ ଯାହା 3-ଡି ସ୍ଫଟିକରେ ମିଳିଥାଏ | ତେଣୁ, ଯଦି ମୁଁ ବର୍ତ୍ତମାନ ସମାନତା 1-ଡି କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ଶୋ ଅନୁବାଦ, ସର୍ବୋତ୍ତମ ଭାବରେ ପ୍ରତିଫଳନକୁ ଫେରିଆସେ | ତେଣୁ, ସେମାନେ କେବଳ ଅନୁବାଦ ଦେଖାଇପାରନ୍ତି ଏବଂ ପ୍ରତିଫଳନ ଦେଖାଇ ନପାରନ୍ତି ମୋଟିଫ୍ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ | 2-ଡିରେ ଅନୁବାଦ, ପ୍ରତିଫଳନ, ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଅଛି। 3-ଡି ସ୍ଫଟିକରେ ଅନୁବାଦ, ପ୍ରତିଫଳନ, ଘୂର୍ଣ୍ଣନ, ଏବଂ ଓଲଟା ଅଛି । ତେଣୁ, ଅନୁବାଦ ଟି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ, ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଆର ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ | ତେଣୁ, ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସନ୍ତୁ ସ୍ଫଟିକକୁ ଫେରିବା ।

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 05:38)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରିବାକୁ, ସେହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁ ଯାହା ମୁଁ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିଲି | ଯଦି ମୁଁ ଏହିପରି ଏକ ମୋଟିଫ୍ ରଖେ, ତେଣୁ ଏହାର ଏକ ଅନୁବାଦ ସମାନତା ଅଛି, ଏହାର 4-ଗୁଣ ଅଛି, ଏହାର 2-ଗୁଣ ଅଛି, ଏହାର ଏହିପରି ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଅଛି | ସେହିଭଳି, ଅନ୍ୟ ଢଙ୍ଗରେ ଏହାର ଏକ ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଅଛି | ତେଣୁ, ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ତିନୋଟି ସମାନତା ଯାହା ଆପଣ ଦେଖିପାରିବେ, ଯାହା ଉପସ୍ଥିତ | ତେଣୁ, ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ, 2-ଡି କ୍ଷେତ୍ରରେ | ଅଧିକନ୍ତୁ, ଯଦି ଆପଣ 3-ଡିରେ ଡ୍ର କରନ୍ତି, ତେବେ ଆପଣଙ୍କର ଓଲଟା ମଧ୍ୟ ଉପସ୍ଥିତ ରହିବ । ତେଣୁ, ବର୍ତ୍ତମାନ ଆପଣ ଘରେ ଯାହା କରିପାରିବେ ତାହା ହେଉଛି, ବର୍ଣ୍ଣମାଳାରେ ସମାନତା ଖୋଜନ୍ତୁ, ଆପଣ କରିପାରୁଥିବା ସରଳ ଜିନିଷ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 07:22)

ଆପଣ ଉଭୟ ହିନ୍ଦୀ ଏବଂ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳା ଚେଷ୍ଟା କରିପାରିବେ, ଏବଂ ଆପଣ ପାଇବେ ଯେ ହିନ୍ଦୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳା ତୁଳନାରେ ରୋମାନ ବର୍ଣ୍ଣମାଳା ଟିକିଏ ଅଧିକ ସମାନ ଅଟେ | ଆପଣ ହୋଣ୍ଡା, ଏଚ୍, ଏବଂ ୱୋଲକ୍ସଭାଜେନ୍, ଡବ୍ଲୁ, ଏବଂ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ପରି ଆପଣଙ୍କ ଚାରିପାଖରେ ସାଧାରଣ କାର ପ୍ରତୀକ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବେ | ତେଣୁ, ଯେତେବେଳେ ଆପଣ ଚାଲନ୍ତି, ସମାନତାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ, ଆପଣଙ୍କ ଚାରିପାଖରେ ଥିବା ସମାନତା ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ କ'ଣ | ଆମେ ୭ ଟି କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ଏବଂ ୧୪ ବ୍ରାଭାଇସ୍ ଜାଲିରେ ଜାଲିର ବର୍ଗୀକରଣ ଆଧାରରେ ଫେରିଆସିଛୁ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 08:31)

ଆମେ ଦେଖିଲୁ ଯେ ଆମର 7 ଟି କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି, ଏବଂ ଆମର 14 ଟି ବ୍ରାଭେସ୍ ଜାଲି ଅଛି |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 09:11)

ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ସମାନତା କ'ଣ? ତେଣୁ, କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ହେଉଛି କ୍ୟୁବିକ୍, ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ୍, ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍, ହେକ୍ସାଗୋନାଲ୍, ରୋମ୍ବୋହେଡ୍ରାଲ୍, ମୋନୋକ୍ଲିନିକ୍ ଏବଂ ଟ୍ରାଇକ୍ଲିନିକ୍ | କ୍ୟୁବ୍ ରେ ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ କୁରାଢ଼ୀ ଅଛି । ଆମେ ଏହା ଦ୍ୱାରା କ'ଣ କହିବାକୁ ଚାହୁଁଛ ମୁଁ ଫେରିଆସିବି | ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲରେ ଅତି କମରେ ଗୋଟିଏ 4-ଗୁଣ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଯାହା ମୋଟିଫ୍ ହେତୁ ସେଠାରେ ଥାଇପାରେ | ତେଣୁ, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ଯଦି ଏହାର ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ ନାହିଁ, ଯଦିଓ ଏହା ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ପରି ଦେଖାଯାଇପାରେ, ଏହା ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ନୁହେଁ |

ସେହିଭଳି, ଆସନ୍ତୁ ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ କୁ ଯିବା । ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ ରେ ତିନୋଟି 2-ଫୋଲ୍ଡ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ | ଯଦି ଏହାର 3-ଫୋଲ୍ଡ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ନାହିଁ, ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍, ଏହା ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ ସ୍ଫଟିକ ନୁହେଁ | ହେକ୍ସାଗୋନାଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣଙ୍କର ଗୋଟିଏ 6-ଗୁଣ ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ ଅଛି, ଏବଂ ରୋମ୍ବୋହେଡ୍ରାଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣଙ୍କର ଗୋଟିଏ 3-ଗୁଣ ଅଛି, ଏବଂ ମୋନୋକ୍ଲିନିକ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଅଛି, ଆସନ୍ତୁ ଗୋଟିଏ 2-ଗୁଣ ଲେଖିବା, ଏବଂ ଟ୍ରାଇକ୍ଲିନିକ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆପଣଙ୍କର କିଛି ନାହିଁ | ତେଣୁ, ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି କ୍ୟୁବିକ୍ ର ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ସମାନତା | ତଥାପି, ସମାନତା ପାଇଁ ବହୁତ କିଛି ଅଛି, ଆମେ ମହାକାଶ ଗୋଷ୍ଠୀ ପରି ଜିନିଷ ଲେଖୁ ଏବଂ କାରଣ ଏହା କେବଳ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା ନୁହେଁ, ଯାହା ସ୍ଫଟିକ ପାଇଁ ବିଚାରକୁ ନିଆଯାଏ, ଏହା ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା, ଦର୍ପଣ ବିମାନ ଯାହାକୁ ଗ୍ଲାଇଡ୍ ଏବଂ ସ୍କ୍ରୁ କୁହାଯାଏ ଯାହା ମୂଳତଃ ସ୍ଫଟିକରେ ପରମାଣୁ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଏ |

ତେଣୁ, ଆପଣ ସାମଗ୍ରୀ ପାଇଁ ପଏଣ୍ଟ ଗ୍ରୁପ୍ ଏବଂ ସ୍ପେସ୍ ଗ୍ରୁପ୍ ପରି ଜିନିଷ ଲେଖନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ଆମ ପାଖରେ ସେସବୁ ପାଇଁ ସମୟ ନାହିଁ | ତେଣୁ, ସାତଟି ସ୍ଫଟିକ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଶ୍ରେଣୀଭୁକ୍ତ ଲାଟିସ୍, କ୍ୟୁବିକ୍ ରେ ଚାରିଟି 3-ଗୁଣ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଏହା ବାହାରେ ଅନ୍ୟ କିଛି ସମ୍ଭବ, କେବଳ ଯେତେବେଳେ ଏହାର ଚାରିଟି 3-ଗୁଣ ଥାଏ | ତେଣୁ, ଆପଣ କ୍ୟୁବିକ୍ ସିଷ୍ଟମରେ ଅଧିକ ଅନ୍ତିମ ବର୍ଗୀକରଣ ପାଇପାରିବେ, କିନ୍ତୁ ଏଥିରେ ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ କୁରାଢ଼ୀ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ | ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ୍ ର ଗୋଟିଏ 4-ଗୁଣ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ ରେ ତିନୋଟି 2-ଫୋଲ୍ଡ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଏବଂ ଏହିପରି | ତେଣୁ, ଏଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାନତା ଉପାଦାନ | ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସନ୍ତୁ ଦେଖିବା, ଆସନ୍ତୁ କ୍ୟୁବିକ୍ ସହିତ ଆରମ୍ଭ କରିବା |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 13:02)

ତେଣୁ, ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରଥମେ କ୍ୟୁବିକ୍ ସହିତ ଆରମ୍ଭ କରିବା, ଏବଂ ଆମେ ଏହିପରି ମୋଟିଫ୍ ରଖିପାରିବା | ଏହା ହେଉଛି ସରଳ ମୋଟିଫ୍ | ତେଣୁ, ଆମ ପାଖରେ ପି, ମୁଁ, ଏବଂ ଏଫ ପି ଆଦିମ, ମୁଁ ବିସିସି, ଏବଂ ଏଫ ହେଉଛି ଏଫସିସି | ଆମେ ଦେଖିପାରୁ ଯେ କୌଣସି ଶେଷ କେନ୍ଦ୍ରିତ କ୍ୟୁବିକ୍ ନାହିଁ, ଆମେ ପରେ ଏହା ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବୁ | ତେଣୁ, କ୍ୟୁବ୍ ରେ ସାଧାରଣତଃ ଶରୀରର କର୍ଣ୍ଣ ସହିତ ତିନୋଟି 4-ଫୋଲ୍ଡ କୁରାଢ଼ୀ ଥାଏ | ତେଣୁ, ଏସବୁର ସେହି ଅକ୍ଷ ଚାରିପାଖରେ 3-ଗୁଣ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ହେବ | ତେଣୁ, ଏହାର ଛଅଟି 2-ଫୋଲ୍ଡ କୁରାଢ଼ୀ ସହିତ ମୁହଁ କର୍ଣ୍ଣ ସହିତ ଅଛି, ତେଣୁ, ଏଥିମଧ୍ୟରୁ 6 ଟି ଆପଣଙ୍କୁ ଛଅଟି 2-ଫୋଲ୍ଡ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପ୍ରଦାନ କରିବ | ତେଣୁ, ଏହିପରି ଘନ ସମାନତା ହେବ | ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ମୁଁ ଆପଣଙ୍କୁ କିଛି ଉଦାହରଣ ଦେବି ।

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 16:35)

ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସେଠାରେ ଏକ ଆଦିମ ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ, ଶରୀର-କେନ୍ଦ୍ରିତ ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ ଅଛି | ତେଣୁ, ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲରେ 4-ଗୁଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ରହିବ, ଏବଂ ଯଦି ଆପଣଙ୍କର ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା 4-ଗୁଣ ଅଛି, ତେବେ ଏଥିରେ 2-ଗୁଣରୁ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟ ରହିବ | ତେଣୁ, ଏହା ମଧ୍ୟ ଆପଣ ଦେଖିପାରିବେ ଯେ, ଯଦି ଆପଣ ଯେତେବେଳେ ଏକ ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ ସ୍ଫଟିକ ଅଙ୍କନ କରନ୍ତି, ତେବେ ଏହା ଆପଣଙ୍କର ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ ସ୍ଫଟିକ | ତେଣୁ, ଯଦି ଆପଣ ସେପରି ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କରନ୍ତି, ଏହା ଏକ, ଏକ ଏବଂ ସି, ଏହା ଆପଣଙ୍କୁ ଏକ 4-ଗୁଣ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଦେବ, ଏବଂ ଏହା ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାନଦଣ୍ଡ ଏବଂ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରୁଛି | ସେହିଭଳି, ଆପଣ ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ ଏବଂ ହେକ୍ସାଗୋନାଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦେଖିପାରିବେ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 18:13)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ମୁଁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସ୍ଥାନକୁ ଆସିବି, ଆମର 28 ବ୍ରାଭିସ୍ ଜାଲି କାହିଁକି ନାହିଁ? ସର୍ବନିମ୍ନ ସମାନତା କ'ଣ ଆବଶ୍ୟକ? ତେଣୁ, ଆପଣଙ୍କର ଏକ 4-ଗୁଣ ଥାଇପାରେ, ଆପଣଙ୍କର 3-ଗୁଣ ଥାଇପାରେ, କିନ୍ତୁ ଯଦି ଆପଣ 3-ଗୁଣ ହରାଇବେ, ତେବେ ଏହା ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ହୋଇ ନଥାଏ । ତେଣୁ, କ୍ରିଷ୍ଟାଲୋଗ୍ରାଫିକ୍ ଭାବରେ କହିବାକୁ ଗଲେ, ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ହେଉଛି ଏକ କ୍ୟୁବ୍, ଯେତେବେଳେ ଏହାର ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମ୍ଭବ | ଅନ୍ୟଥା, ଏହା ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ନୁହେଁ । ସର୍ବନିମ୍ନ ସମାନତା ଅପରେସନ୍ କରି କ୍ୟୁବ୍ କୁ ଆତ୍ମ ସଂଯୋଗ ସ୍ଥିତିକୁ ଆଣିବା ଆବଶ୍ୟକ |

ଯଦିଓ 4-ଫୋଲ୍ଡ ଏବଂ 2-ଫୋଲ୍ଡ ଏହାକୁ ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ଆକୃତିକୁ ଫେରାଇ ଆଣିପାରେ, 3-ଫୋଲ୍ଡ ସକ୍ଷମ ହେବ ନାହିଁ | ତେଣୁ, ଯାହାର ଅର୍ଥ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମାନତା ଉପାଦାନ ହରାଇଛି | ତେଣୁ, ତାହା ହେଉଛି ସର୍ବନିମ୍ନ ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ମାନଦଣ୍ଡ | ତେଣୁ, ଯଦି ଆପଣ ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ରେ ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ ଅପରେସନ୍ କରିପାରିବେ, ତେବେ 4-ଫୋଲ୍ଡ, 2-ଫୋଲ୍ଡ ସ୍ୱୟଂଚାଳିତ, କିନ୍ତୁ 4-ଫୋଲ୍ଡ ଏବଂ 2-ଫୋଲ୍ଡ ରହିବା ର ଅର୍ଥ ନୁହେଁ ଯେ ଏକ 3-ଫୋଲ୍ଡ ସ୍ୱୟଂଚାଳିତ ଅଟେ | ତେଣୁ, ସେଥିପାଇଁ ଆମେ ସର୍ବନିମ୍ନ ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ସମାନତା ବାଛିଥାଉ |

ଆମ ପାଖରେ କାହିଁକି ୨୮ ଟି ଜାଲି ଯୋଗାଇନାହିଁ? ଅଧିକନ୍ତୁ, ଆମର ଏହାର ମାତ୍ର ଅଧା ଅଛି, କେବଳ 14 । ତେବେ, ଏହାର କାରଣ କ'ଣ? ଏହାର କାରଣ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ କାରଣ ହେଉଛି ଏହା ସମାନତା ଉପରେ ଆଧାରିତ, ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ କାରଣ ଆକାର ଉପରେ ଆଧାରିତ | ଅର୍ଥାତ୍, ଅନ୍ୟ ସମ୍ଭାବନାଗୁଡ଼ିକ ସମାନତା ହେତୁ ଅନ୍ୟ କିଛିରେ ପରିଣତ ହୁଏ କାରଣ ସେମାନେ ଅନ୍ୟ ଜାଲିର ସମାନମାନଦଣ୍ଡ ପୂରଣ କରନ୍ତି | ସେହିଭଳି, ଯଥାସମ୍ଭବ, ଆମେ ସର୍ବୋତ୍ତମ ସମ୍ଭବ ସମାନତା ସହିତ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଆକାର ବାଛିବା ଆବଶ୍ୟକ | ତେଣୁ, କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଆକାର ଏବଂ ସର୍ବୋତ୍ତମ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାନତା ଅନ୍ୟ ମିଶ୍ରଣକୁ ନେଇଥାଏ | ତେଣୁ, ସମ୍ଭାବନାଗୁଡିକ ଅନ୍ୟ କିଛିରେ ପରିଣତ ହୁଏ | ତେଣୁ, ଆମର ଏକ କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ଟେବୁଲ୍ ଅଛି, ଏବଂ ଆମର ବ୍ରାଭେସ୍ ଜାଲି ଅଛି |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 20:57)

ଆମର କ୍ୟୁବିକ୍, ଟ୍ରିଗୋନାଲ୍, ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍, ରୋମ୍ବୋହେଡ୍ରାଲ୍, ହେକ୍ସାଗୋନାଲ୍, ମୋନୋକ୍ଲିନିକ୍ ଏବଂ ଟ୍ରାଇକ୍ଲିନିକ୍ ଅଛି | ତେଣୁ, ଆମେ ଏହାକୁ ଏବଂ ଶ୍ରେଣୀରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରୁ କିମ୍ବା ମୋତେ ଏଠାରେ ପି, ମୁଁ, ଏଫ ଏବଂ ସି ଲେଖିବାକୁ ଦେଇଥାଉ | କ୍ୟୁବିକ୍ ମୋର ଏହି ଦୁଇଟି ଅଛି, ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ୍ ମୋପାଖରେ କେବଳ ଏଗୁଡ଼ିକ ଅଛି, ଅର୍ଥୋରହୋମ୍ବିକ୍ ମୋର ସମସ୍ତେ ଅଛନ୍ତି, ରୋମ୍ବୋହେଡ୍ରାଲ୍ କେବଳ ପି, ହେକ୍ସାଗୋନାଲ୍ କେବଳ ପି, କେବଳ ମୋନୋକ୍ଲିନିକ୍ ରେ ପି ଏବଂ ସି ଏବଂ ଟ୍ରାଇକ୍ଲିନିକ୍ ରେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ନାହିଁ | ଏହାର ଏକମାତ୍ର ପି ଆଉ କିଛି ନାହିଁ |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 22:14)

ସି-କେନ୍ଦ୍ରିତ ଘନ କାହିଁକି ହଜିଯାଇଛି? ତେଣୁ, ଆସନ୍ତୁ ସି-ସିଡ୍ୟୁଲେସନ୍ କ୍ୟୁବିକ୍ ଲାଟିସ୍ ଅଙ୍କନ କରିବା | ବର୍ତ୍ତମାନ, ପ୍ରଶ୍ନ ଉଠୁଛି; ଏହାର ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ସମାନତା ଅଛି କି? ଚାରୋଟି 3-ଫୋଲ୍ଡ। ଯଦି ମୁଁ ଏଠାରୁ ଏଠାରୁ ଏଠାରୁ 3-ଗୁଣ ଅଙ୍କନ କରେ, ତେବେ ଏହାର 3-ଗୁଣ ଅଛି କି? ମୁଁ ଏଠାରେ 3-ଗୁଣ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ କରି ଏହାକୁ ଆତ୍ମ ସଂଯୋଗକୁ ଆଣିବାରେ ସକ୍ଷମ ହେବି କି? ଆମେ ହେବୁ ନାହିଁ । ତେବେ, ଆମେ ଏଠାରେ କ'ଣ କରିଛୁ? ଆମେ 3-ଗୁଣ ସମାନତା ମାନଦଣ୍ଡ ହରାଇଛୁ । 3-ଫୋଲ୍ଡ ସମାନତା ମାନଦଣ୍ଡ ପାଇଁ, ଫଳସ୍ୱରୂପ, ଯଦିଓ ଏହା ଏକ କ୍ୟୁବ୍ ପରି ଦେଖାଯାଏ, ଏହା ଏକ ଘନ ସିଷ୍ଟମ୍ ନୁହେଁ, କିନ୍ତୁ ତା'ପରେ ଏହା କ'ଣ? ଆରମ୍ଭ କରିବା ଏକ ଜାଲି କି? ଦେଖନ୍ତୁ, ଏକ ଜାଲିର ସଂଜ୍ଞା କ'ଣ ଥିଲା? ଏହା ହେଉଛି ପଏଣ୍ଟ ଏ, ଏବଂ ଏହା ହେଉଛି ପଏଣ୍ଟ ବି; ଉଭୟଙ୍କର ସମାନ ପଡ଼ୋଶୀ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ |

ତେଣୁ, ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ ବିଙ୍କର ଚାରିଜଣ ପଡ଼ୋଶୀ ଅଛନ୍ତି, ଏଠାରେ ଏ ଙ୍କର ଚାରିଜଣ ପଡ଼ୋଶୀ ମଧ୍ୟ ଅଛନ୍ତି, କାରଣ ଜଣେ ଏଠାରେ ରହିବେ; ଅନ୍ୟ ଜଣେ ଏଠାରେ ରହିବେ; ଅନ୍ୟ ଜଣେ ଏଠାରେ ରହିବେ । ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ଲାଟିସ୍ । ତେବେ, ଏହା ସେତେବେଳେ କ'ଣ? ଆମେ ଏଥିରୁ କ'ଣ ପୁନଃନିର୍ମାଣ କରିପାରିବା? ତେଣୁ, ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ କିଛି ହେବ । ତେବେ, ଏହା କ'ଣ? ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୁଇଟି ୟୁନିଟ୍ କୋଷ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା |

(ସ୍ଲାଇଡ୍ ସମୟ ରେଫର୍ କରନ୍ତୁ: 25:03)

ଯଦି ମୁଁ ଏହିପରି ଏକ ୟୁନିଟ୍ ସେଲ୍ ନିର୍ମାଣ କରେ, ଯାହା ଏକ କମଳା ରଙ୍ଗର ୟୁନିଟ୍ ସେଲ୍, ଆପଣ ଏଠାରେ ଯାହା ପାଆନ୍ତି ତାହା ହେଉଛି ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ୍ | ତେଣୁ, ଆମେ ଏକ ସରଳ ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ କୋଷ ଗଠନ କରିପାରିବା, ଯାହାର ଏକ ଛୋଟ ଆକାର ଅଛି | ଶେଷ-କେନ୍ଦ୍ରିତ କ୍ୟୁବିକ୍ ଏକ ସରଳ ଟେଟ୍ରାଗୋନାଲ କୋଷ ବ୍ୟତୀତ ଆଉ କିଛି ନୁହେଁ | ତେଣୁ, ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀରେ ଅନ୍ୟ ସମ୍ଭାବନା ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ସୁଯୋଗ ଦେଖିବୁ |

ଏହି ଶ୍ରେଣୀକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରିବାକୁ, ଆମେ ଦେଖିଛୁ ଯେ କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ସ, ଅନୁବାଦ ସମାନତା, ପ୍ରତିଫଳନ ସମାନତା, ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସମାନତା, ଏବଂ ଓଲଟା ସମାନତାରେ କିଛି ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ସିମେଟ୍ରି ଅଛି | ଏଗୁଡିକ 3-ଡି ମାମଲାରେ ଅନୁସରଣ କରାଯାଏ, ଏବଂ ଯେପରି ଆମେ ଦେଖିଛୁ ଯେ ବ୍ରାଭେସ୍ ଲାଟିସ୍ ଏବଂ କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ସିମେଟ୍ରିଜ୍ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରୁଛି, ତା'ପରେ ବ୍ରାଭେସ୍ ଲାଟିସ୍ ସେହି କ୍ରିଷ୍ଟାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ରୁ ଚୟନ କରାଯାଏ, ସେମାନଙ୍କର ଆକାର ଏବଂ ସମାନତା ଉପରେ ଆଧାର କରି | ଆମେ ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦେଖିଛୁ, ଏବଂ ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀରେ ଅଧିକ ଦେଖିବୁ |

ଧନ୍ୟବାଦ।